If $\mathrm{a}\text{⨍ }\left(\tan \text{ x}\right)\text{ +b⨍ }\left(\mathrm{t}\text{cot x}\right)\text{=x}$ then ${\text{⨍ }}^1\left(\mathrm{cotx}\right)\text{=}$

$$\begin{gathered} \mathrm{af}\left(\tan \mathrm{x}\right)+\mathrm{b} \mathrm{f}\left(\cot \mathrm{x}\right)=\mathrm{x} \to \left(1\right) \\ \mathrm{replace} \mathrm{x} \mathrm{by} \frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x} \\ \mathrm{af} (\cot \mathrm{x})+\mathrm{b} \mathrm{f}(\tan \mathrm{x})=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x} \to \left(2\right) \\ \left(1\right)\mathrm{b}-\left(2\right)\mathrm{a} \\ ({\mathrm{b}}^2-{\mathrm{a}}^2) \mathrm{f}(\cot \mathrm{x}) = \mathrm{bx}-\mathrm{a}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right) \\ \left({\mathrm{b}}^2-{\mathrm{a}}^2\right) {\mathrm{f}}^1(\cot \mathrm{x})(-{\mathrm{cosec}}^2\mathrm{x}) =\mathrm{b}-\mathrm{a}(0-1) \\ =\mathrm{b}+\mathrm{a} \\ {\mathrm{f}}^1(\cot \mathrm{x}) =\frac{{\sin }^2\mathrm{x}}{\mathrm{a}-\mathrm{b}} \end{gathered}$$