If $a^{x-1}=bc,b^{y-1}=ca,c^{z-1}=ab$, then $xy+yz+zx=$

$a^{x-1}=bc$

$\frac{a^x}{a}=bc$

$a^x=abc$

$a={\left(abc\right)}^{\frac{1}{x}}\to \left(i\right)$

$b^{y-1}=ca$

$\frac{b^y}{b}=ca$

$b^y=abc$

$b={\left(abc\right)}^{\frac{1}{y}}\to \left(ii\right)$

$c^{z-1}=ab$

$\frac{c^z}{c}=ab$

$c^z=abc$

$c={\left(abc\right)}^{\frac{1}{z}}\to \left(iii\right)$

$\left(i\right)\times \left(ii\right)\times \left(iii\right)$

$abc={\left(abc\right)}^{\frac{1}{x}}.{\left(abc\right)}^{\frac{1}{y}}.{\left(abc\right)}^{\frac{1}{z}}$

$abc={\left(abc\right)}^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$

${\left(abc\right)}^1=\left(abc\right)\frac{yz+xz+yx}{xyz}$

$\frac{xy+yz+zx}{xyz}=1\Rightarrow xy+yz+zx=xyz$