If $\mathrm{b}>\mathrm{a}$, then the equation $(\mathrm{x}-\mathrm{a})(\mathrm{x}-\mathrm{b})=1$ has 

The equation is ${\mathrm{x}}^2-(\mathrm{a}+\mathrm{b})\mathrm{x}+\mathrm{ab}-1=0$

$\therefore$ discriminant $={(\mathrm{a}+\mathrm{b})}^2-4(\mathrm{ab}-1)={(\mathrm{b}-\mathrm{a})}^2+4>0$

$\therefore$ both roots are real. Let them be $\mathrm{\alpha },\mathrm{\beta }$ where

$\mathrm{\alpha }=\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b})-\sqrt{{(\mathrm{b}-)}^2+4}}{2}, \mathrm{\beta }=\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b})+\sqrt{{(\mathrm{b}-\mathrm{a})}^2+4}}{2}$

Clearly, $\mathrm{\alpha }<\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b})-\sqrt{{(\mathrm{b}-\mathrm{a})}^2}}{2}=\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b})-(\mathrm{b}-\mathrm{a})}{2}=\mathrm{a}$

$(\because b>a)$

and $\mathrm{\beta }>\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b})+\sqrt{{(\mathrm{b}-\mathrm{a})}^2}}{2}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{b}-\mathrm{a}}{2}=\mathrm{b}$

Hence, one root $\mathrm{\alpha }$ is less than a and the other root $\mathrm{\beta }$ is greater than b.