If $\overrightarrow{b}$ and $\overrightarrow{c}$ are any two orthogonal unit vectors and $\overrightarrow{a}$ is any vector. Then  $(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b})\overrightarrow{b}+(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c})\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}·(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$.=

Taking $\hat{i}$ along $\overrightarrow{b}\text{ and }\hat{j}$ $\overrightarrow{c},$ we find $\hat{k}=\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$.

$(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b})\overrightarrow{b}+(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c})\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}·(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}·\hat{i})\hat{i}+(\overrightarrow{a}·\hat{j})\hat{j}+(\overrightarrow{a}·\hat{k})\hat{k}=\overrightarrow{a}.$