If ${\cos }^{-1}\left[\frac{\mathrm{cos\alpha }+\mathrm{cos\beta }}{1+\mathrm{cos\alpha } \mathrm{cos\beta }}\right]=2{\mathrm{Tan}}^{-1}\mathrm{x}$ then x=

$$\begin{gathered} Let \mathrm{a}={\tan }^2 \raisebox{1ex}{$\mathrm{\alpha }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right. , \mathrm{b}={\tan }^2 \raisebox{1ex}{$\mathrm{\beta }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right. \\ {\cos }^{-1}\left[\frac{{\displaystyle \frac{1-\mathrm{a}}{1+\mathrm{a}}}+{\displaystyle \frac{1-\mathrm{b}}{1+\mathrm{b}}}}{1+{\displaystyle \frac{1-\mathrm{a}}{1+\mathrm{a}}}·{\displaystyle \frac{1-\mathrm{b}}{1+\mathrm{b}}}}\right]={\cos }^{-1}\left[\frac{1+\mathrm{b}-\mathrm{a}-\mathrm{ab}+1+\mathrm{a}-\mathrm{b}-\mathrm{ab}}{1+\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{ab}+1-\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{ab}}\right] \\ ={\cos }^{-1}\left[\frac{2-2\mathrm{ab}}{2+2\mathrm{ab}}\right]={\cos }^{-1}\left(\frac{1-\mathrm{ab}}{1+\mathrm{ab}}\right)=2{\tan }^{-1} \left(\sqrt{\mathrm{ab}}\right) \\ =2{\tan }^{-1}\left(\tan \frac{\mathrm{\alpha }}{2} \tan \raisebox{1ex}{$\mathrm{\beta }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\right) \\ \Rightarrow \mathrm{x}=\tan \frac{\mathrm{\alpha }}{2} \tan \frac{\mathrm{\beta }}{2} \end{gathered}$$