If $\cos \mathrm{x}+2\cos \mathrm{y}+3\cos \mathrm{z}=\sin \mathrm{x}+2\sin \mathrm{y}+3\sin \mathrm{z}=0$ then the value of $\sin 3\mathrm{x}+8\sin 3\mathrm{y}+27\sin 3\mathrm{z}$ is

$\mathrm{\alpha }=\mathrm{cis}\mathrm{x},\mathrm{\beta }=\mathrm{cis}\mathrm{y},\mathrm{\gamma }=\mathrm{cis}\mathrm{z}\text{ Given }$

$\cos \mathrm{x}+2\cos \mathrm{y}+3\cos \mathrm{z}=\sin \mathrm{x}+2\sin \mathrm{y}+3\sin \mathrm{z}=0$

$\mathrm{\alpha }+2\mathrm{\beta }+3\mathrm{\gamma }=(\cos x+2\cos y+3\cos z)+i(\sin x+2\sin y+3\sin z)=0$

$\mathrm{\alpha }+2\mathrm{\beta }+3\mathrm{\gamma }=0\Rightarrow {\mathrm{\alpha }}^3+8{\mathrm{\beta }}^3+27{\mathrm{\gamma }}^3=18\mathrm{\alpha \beta \gamma }$

$\mathrm{cis}3x+8\mathrm{cis}3y+27\mathrm{cis}3z=18\mathrm{cis}(x+y+z)$

$\Rightarrow \sin 3\mathrm{x}+8\sin 3\mathrm{y}+27\sin 3\mathrm{z}=18\sin (\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z})$