If ${\mathrm{D}}_{\mathrm{k}}=\left|\begin{array}{ccc}1& \mathrm{n}& \mathrm{n}\\ 2\mathrm{k}& {\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1& {\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}\\ 2\mathrm{k}-1& {\mathrm{n}}^2& {\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1\end{array}\right|$ and $\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} {\mathrm{D}}_{\mathrm{k}}=56$, then n equals

$\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} {\mathrm{D}}_{\mathrm{k}}=56$

$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} 1& \mathrm{n}& \mathrm{n}\\ \sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} 2\mathrm{k}& {\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1& {\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}\\ \sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} (2\mathrm{k}-1)& {\mathrm{n}}^2& {\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1\end{array}\right|=56$

or $\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{n}& \mathrm{n}& \mathrm{n}\\ \mathrm{n}(\mathrm{n}+1)& {\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1& {\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}\\ {\mathrm{n}}^2& {\mathrm{n}}^2& {\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1\end{array}\right|=56$

Applying ${\mathrm{C}}_3\to {\mathrm{C}}_3-{\mathrm{C}}_1\text{ and }{\mathrm{C}}_2\to {\mathrm{C}}_2-{\mathrm{C}}_1$, we get

$\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{n}& 0& 0\\ \mathrm{n}(\mathrm{n}+1)& 1& 0\\ {\mathrm{n}}^2& 0& \mathrm{n}+1\end{array}\right|=56$

or $\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)=56\text{ or }\mathrm{n}=7$