If $\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{1-\mathrm{x}}= {\mathrm{B}}_0+{\mathrm{B}}_1\mathrm{x}+{\mathrm{B}}_2{\mathrm{x}}^2+\dots \dots \dots \dots +{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}-1}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}+\dots \dots ..$

then the value of $\left({\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}-{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}-1}\right)$ is

$\begin{array}{l}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}(1-\mathrm{x}{)}^{-1}={\mathrm{B}}_0+{\mathrm{B}}_1\mathrm{x}+{\mathrm{B}}_2{\mathrm{x}}^2+\dots ..+{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}+\dots .\\ \Rightarrow \left(1+\frac{\mathrm{x}}{1!}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{2!}+\dots .+\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}}{(\mathrm{n}-1)!}+\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}!}+\dots \right)\times \left(1+\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2+\dots +{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}+\dots .\mathrm{\infty }\right)\\ ={\mathrm{B}}_0+{\mathrm{B}}_1\mathrm{x}+{\mathrm{B}}_2{\mathrm{x}}^2+\dots ..+{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}+\dots .\end{array}$
$\text{ On comparing the coefficients of }{x}^n\text{ and }{x}^{n-1}\text{ on both sides, we get }$$$\begin{gathered} \frac{1}{\mathrm{n}!}+\frac{1}{(\mathrm{n}-1)!}+\dots .+\frac{1}{2!}+\frac{1}{1!}+1={\mathrm{B}}_{\mathrm{n}} \\ \text{ and }\frac{1}{(\mathrm{n}-1)!}+\frac{!}{(\mathrm{n}-2)!}+\dots .+\frac{1}{2!}+\frac{1}{1!}+1={\mathrm{B}}_{\mathrm{n}-1} \\ {\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}-{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}-1}=\frac{1}{\mathrm{n}!} \end{gathered}$$