$If f(a+b-x)=f\left(x\right)$ then ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=$

$\begin{array}{r}\mathrm{I}={\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\to \left(i\right) \\ Apply \boxed{{\int }_a^{b}f\left(x\right) dx={\int }_a^{b}f(a+b-x) dx} \\ \Rightarrow \mathrm{I}={\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} (\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{x})\mathrm{f}(a+b-x)\mathrm{dx} \\ I={\int }_a^b(a+b-x)f\left(x\right)dx\to \left(ii\right) (\because f(a+b-x)=f(x) ) \\ \left(i\right)+\left(ii\right)\Rightarrow 2\mathrm{I}={\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)(x+a+b-x)\mathrm{dx} \\ 2I=(\mathrm{a}+\mathrm{b}){\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ \Rightarrow \mathrm{I}=\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b})}{2}{\int }_a^b\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \end{array}$