$\text{ If }\mathrm{f}\text{ is continuous on }[\mathrm{a},\mathrm{b}]\text{ and differentiable in }(\mathrm{a},\mathrm{b})(\mathrm{ab}>0)\text{, then there exists }$$\mathrm{c}\in (\mathrm{a},\mathrm{b})\text{ such hat }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)}{\frac{1}{\mathrm{b}}-\frac{1}{\mathrm{a}}}=$

$\text{ Let }\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right),\mathrm{x}\in \left[\frac{1}{\mathrm{b}},\frac{1}{\mathrm{a}}\right]$
$\text{ Use LMVT for }\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\text{. Then there exists }\mathrm{d}\in \left[\frac{1}{\mathrm{b}},\frac{1}{\mathrm{a}}\right]$
$\text{ Such that }\frac{\mathrm{F}\left(\frac{1}{\mathrm{a}}\right)-\mathrm{F}\left(\frac{1}{\mathrm{b}}\right)}{\frac{1}{\mathrm{a}}-\frac{1}{\mathrm{b}}}={\mathrm{F}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{d}\right)=-\frac{1}{{\mathrm{d}}^2}\mathrm{f}\text{'}\left(\frac{1}{\mathrm{d}}\right)$
$\text{ Put }\mathrm{c}=\frac{1}{\mathrm{d}}\text{ then }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)}{\frac{1}{\mathrm{b}}-\frac{1}{\mathrm{a}}}=-{\mathrm{c}}^2{\mathrm{f}}^{ \text{'}}\left(\mathrm{c}\right)$