If $\mathrm{f}:\mathrm{R}\to \mathrm{R}\text{ and }\mathrm{g}:\mathrm{R}\to \mathrm{R}$are two functions such that $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+{\mathrm{f}}^{\prime \prime }\left(\mathrm{x}\right)=-\mathrm{xg}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right) \mathrm{and} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)>0\mathrm{\forall }\mathrm{x}\in \mathrm{R}.$Then the function ${\mathrm{f}}^2\left(\mathrm{x}\right)+{\left({\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2$has 

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+{\mathrm{f}}^{\prime \prime }\left(\mathrm{x}\right)=-\mathrm{xg}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)$
Let $\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{f}}^2\left(\mathrm{x}\right)+{\left({\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2$
$$\begin{gathered} \therefore {\mathrm{h}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)+2{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{f}}^{\prime \prime }\left(\mathrm{x}\right) \\ =2{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)[-\mathrm{x}]\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right) \\ =-2\mathrm{x}{\left({\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^2\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \end{gathered}$$
Thus, $x=0$ is a point of maxima for $h\left(x\right)$.