If $\mathrm{f}:\mathrm{R}\to \mathrm{R}$ is given by $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+1$, then the value of $\underset{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{1}{\mathrm{n}}\left[\mathrm{f}\left(0\right)+\mathrm{f}\left(\frac{5}{\mathrm{n}}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{10}{\mathrm{n}}\right)+\dots .+\mathrm{f}\left(\frac{5(\mathrm{n}-1)}{\mathrm{n}}\right)\right]$ is

Let

$\mathrm{I}=\frac{1}{\mathrm{n}}\left[\mathrm{f}\left(0\right)+\mathrm{f}\left(\frac{5}{\mathrm{n}}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{10}{\mathrm{n}}\right)+..+\mathrm{f}\left(\frac{5(\mathrm{n}-1)}{\mathrm{n}}\right)\right]$

$\Rightarrow \mathrm{I}=\sum _{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}-1} \mathrm{f}\left(\frac{5\mathrm{r}}{\mathrm{n}}\right)\cdot \frac{1}{\mathrm{n}}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \mathrm{I}={\int }_0^1 \mathrm{f}\left(5\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} (\because \text{ assume }\mathrm{r}/\mathrm{n}\text{ as }\mathrm{x})\\ ={\int }_0^1 (5\mathrm{x}+1)\mathrm{dx} (\because \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+1)\\ {\left.=\frac{5}{2}{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}\right]}_0^1=\frac{5}{2}+1-0=\frac{7}{2}\end{array}$