If $f\left(x\right)=\cos x-{\cos }^{2}x+{\cos }^{3}x-\dots \mathrm{\infty }$ then $\int \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ddot{\mathrm{d}}\mathrm{x}$ is equal to

$\begin{array}{c}\because \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\cos \mathrm{x}-{\cos }^2\mathrm{x}+{\cos }^3\mathrm{x}-\dots \mathrm{\infty }=\frac{\cos \mathrm{x}}{1+\cos \mathrm{x}}\\ \therefore \int \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int \frac{1+\cos \mathrm{x}}{1+\cos \mathrm{x}}\mathrm{dx}-\int \frac{1}{1+\cos \mathrm{x}}\mathrm{dx}\\ =\mathrm{x}-\frac{1}{2}\int {\sec }^2\frac{\mathrm{x}}{2}\mathrm{dx}\\ =\mathrm{x}-\frac{1}{2}\tan \frac{\mathrm{x}}{2}\cdot 2+\mathrm{C}=\mathrm{x}-\tan \frac{\mathrm{x}}{2}+\mathrm{C}\end{array}$