If $f\left(x\right)=\log \frac{1-x}{1+x}$, then $f\left(\frac{x_1+x_2}{1+x_1{x}_2}\right)=$

$f\left(\frac{x_1+x_2}{1+x_1{x}_2}\right)=\log \left(\frac{1-\frac{x_1+x_2}{1+x_1{x}_2}}{1+\frac{x_1+x_2}{1+x_1{x}_2}}\right)$

$=\log \left(\frac{1+x_1{x}_2-x_1-x_2}{1+x_1{x}_2+x_1+x_2}\right)$

$=\log \left(\frac{(1-x_1)(1-x_2)}{(1+x_1)(1+x_2)}\right)$

$=\log \left(\frac{1-x_1}{1+x_1}\right)+\log \left(\frac{1-x_2}{1+x_2}\right)$

$=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)$