If $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right), \forall \mathrm{x},\mathrm{y}\in \mathrm{R} \mathrm{and} \mathrm{f}\left(1\right)=7, \mathrm{then} \sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{f}\left(\mathrm{r}\right)=$

$$\begin{gathered} \mathrm{Given} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ax} \\ Given \mathrm{f}\left(1\right)=7\Rightarrow \mathrm{a}=7 \\ \therefore f\left(x\right)=7x \\ Now \underset{\mathrm{r}=1}{\overset{\mathrm{n}}{ \sum }}\mathrm{f}\left(\mathrm{r}\right)=f\left(1\right)+f\left(2\right)+f\left(3\right)+....+f\left(n\right) \\ =7\left(1+2+3+...+\mathrm{n}\right) \\ =7.\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+1\right)}{2} \end{gathered}$$