If $I_n=\int {\cot }^{n}x\mathrm{d}x$ , and  $I_0+I_1+2\left(I_2+\dots +I_8\right)$

$+I_9+I_{10}=A\left(u+\frac{u^2}{2}+\dots +\frac{u^9}{9}\right)$ , where $u=\cot x$ then 

 $I_n+I_{n+2}=\int {\cot }^{n}x{\mathrm{cosec}}^{2}xdx=-\frac{1}{n+1}{\cot }^{n+1}x$

Now , 

$\begin{array}{l}{I}_0+I_1+2\left(I_2+I_3+\cdots +I_8\right)+I_9+I_{10}\\ =\left(I_0+I_2\right)+\left(I_1+I_3\right)+\left(I_2+I_4\right)\\ +\cdots +\left(I_7+I_9\right)+\left(I_8+I_{10}\right)\\ =-\left(u+\frac{1}{2}{u}^2+\frac{1}{3}{u}^3+\cdots +\frac{1}{9}{u}^9\right)\end{array}$

where , $u=\cot x$

Thus , $A=-1$