If $\mathrm{\omega }$ is a complex nth root of unity, then $\sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}} (\mathrm{ar}+\mathrm{b}){\mathrm{\omega }}^{\mathrm{r}-1}$ is equal to

$\begin{array}{c}\mathrm{S}=\sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}} (\mathrm{ar}+\mathrm{b}){\mathrm{\omega }}^{\mathrm{r}-1}\\ =(\mathrm{a}+\mathrm{b})+(2\mathrm{a}+\mathrm{b})\mathrm{\omega }+(3\mathrm{a}+\mathrm{b}){\mathrm{\omega }}^2+\dots +(\mathrm{na}+\mathrm{b}){\mathrm{\omega }}^{\mathrm{n}-1}\\ =\mathrm{b}\left(1+\mathrm{\omega }+{\mathrm{\omega }}^2+\dots +{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{n}-1}\right)+\mathrm{a}\left(1+2\mathrm{\omega }+3{\mathrm{\omega }}^2+\cdots +{\mathrm{n\omega }}^{\mathrm{n}-1}\right)\\ =0+\mathrm{a}\left(1+2\mathrm{\omega }+2{\mathrm{\omega }}^2+\cdots +{\mathrm{n\omega }}^{\mathrm{n}-1}\right)\end{array}$

Now, ${\mathrm{S}}_1=1+2\mathrm{\omega }+3{\mathrm{\omega }}^2+\dots +{\mathrm{n\omega }}^{\mathrm{n}-1}$

$\therefore {\mathrm{\omega S}}_1=\mathrm{\omega }+2{\mathrm{\omega }}^2+\dots +(\mathrm{n}-1){\mathrm{\omega }}^{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{n\omega }}^{\mathrm{n}}$

Subtracting, we get

${\mathrm{S}}_1(1-\mathrm{\omega })=1+\mathrm{\omega }+{\mathrm{\omega }}^2+\dots +{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{n}-1}-{\mathrm{n\omega }}^{\mathrm{n}}=-\mathrm{n}\text{ (as }\left.{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{n}}=1\right)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\mathrm{S}}_1=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{\omega }-1}\\ \therefore \mathrm{S}=\frac{\mathrm{na}}{\mathrm{\omega }-1}\end{array}$