If $\mathrm{\alpha }$ is an nth root of unity, the $1+2\mathrm{\alpha }+3{\mathrm{\alpha }}^2+\dots ..+{\mathrm{n\alpha }}^{\mathrm{n}-1}=$

$$\begin{gathered} \mathrm{\alpha } \mathrm{is} \mathrm{an} \mathrm{nth} \mathrm{root} \mathrm{of} \mathrm{unity}, \\ \Rightarrow 1+\mathrm{\alpha }+{\mathrm{\alpha }}^2+\dots ..+{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{n}-1}=0 \mathrm{and} {\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{n}}=1 \end{gathered}$$

$\begin{array}{l}\mathrm{s}=1+2\mathrm{\alpha }+3{\mathrm{\alpha }}^2+\dots .+{\mathrm{n\alpha }}^{\mathrm{n}-1}\\ \frac{\mathrm{\alpha s}=\mathrm{\alpha }+2{\mathrm{\alpha }}^2+\dots ..++{\mathrm{n\alpha }}^{\mathrm{n}}}{(1-\mathrm{\alpha })\mathrm{s}=1+\mathrm{\alpha }+{\mathrm{\alpha }}^2+\dots ..+{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{n}-1}-\mathrm{n}}\\ \sin ce {\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{n}}=1;\\ \therefore \mathrm{s}=-\frac{\mathrm{n}}{1-\mathrm{\alpha }}\end{array}$