$$\begin{gathered} \mathrm{If} \mathrm{\alpha } \mathrm{is} \mathrm{an} {\mathrm{n}}^{\mathrm{th}} \mathrm{root} \mathrm{of} \mathrm{unity}, \mathrm{then} \\ 1+2\mathrm{\alpha }+3{\mathrm{\alpha }}^2+....+{\mathrm{n\alpha }}^{\mathrm{n}-1}= \end{gathered}$$

$\mathrm{Let} \mathrm{S}=1+2\mathrm{\alpha }+3{\mathrm{\alpha }}^2+.........+(\mathrm{n}-1){\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{n}-2}+{\mathrm{n\alpha }}^{\mathrm{n}-1}$

$\mathrm{Now} \mathrm{\alpha S}=\mathrm{\alpha }+2{\mathrm{\alpha }}^2+3{\mathrm{\alpha }}^3+......+(\mathrm{n}-1){\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{n\alpha }}^{\mathrm{n}}$

$\mathrm{Now} \mathrm{S}-\mathrm{\alpha S}=1+\mathrm{\alpha }+{\mathrm{\alpha }}^2+.........+{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{n}-1}-{\mathrm{n\alpha }}^{\mathrm{n}}$

$\Rightarrow S(1-\alpha )=1\left(\frac{1-{\alpha }^n}{1-\alpha }\right)-n{\alpha }^n(\because 1,\alpha ,{\alpha }^2,........are in G.P)$

$\Rightarrow \mathrm{S}(1-\mathrm{\alpha })=0-\mathrm{n}\left(1\right)(\because {\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{n}}=1)$

$\Rightarrow S=\frac{-n}{(1-\alpha )}$