If $\mathrm{\alpha }+\mathrm{i\beta }={\tan }^{-1}\left(\mathrm{z}\right), \mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} \mathrm{and} \mathrm{\alpha }$ is constant
then the locus of z is

$$\begin{gathered} \mathrm{\alpha }+\mathrm{i\beta }={\tan }^{-1} (\mathrm{x}+\mathrm{iy}) ---① \\ \Rightarrow \mathrm{\alpha }-\mathrm{i\beta }={\tan }^{-1} (\mathrm{x}-\mathrm{iy}) ---② \\ \mathrm{adding} ① \mathrm{and} ② \\ {\tan }^{-1} (\mathrm{x}+\mathrm{iy}) +{\tan }^{-1} (\mathrm{x}-\mathrm{iy})=2\alpha \\ \Rightarrow {\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{iy}+\mathrm{x}-\mathrm{iy}}{1-(\mathrm{x}+\mathrm{iy})(\mathrm{x}-\mathrm{iy})}\right)=2\alpha \\ \therefore \frac{2\mathrm{x}}{1-({\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2)}=\tan 2\mathrm{\alpha } \\ \Rightarrow \frac{2\mathrm{x}}{\tan 2\mathrm{\alpha }}=1-{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+2\mathrm{x} \cot 2\alpha =1 \end{gathered}$$