If $(l,\mathrm{m},\mathrm{n})$ are direction cosines of a line, what is the value of $(l+\mathrm{m}-\mathrm{n}{)}^2+(\mathrm{m}+\mathrm{n}-l{)}^2+(l+\mathrm{m}+\mathrm{n}{)}^2+(\mathrm{n}+l-\mathrm{m}{)}^2?$

Expanding the given expression  $(l+\mathrm{m}-\mathrm{n}{)}^2+(\mathrm{m}+\mathrm{n}-l{)}^2+(l+\mathrm{m}+\mathrm{n}{)}^2+(\mathrm{n}+l-\mathrm{m}{)}^2$

$$\begin{gathered} =\left(l^2+{\mathrm{m}}^2+{\mathrm{n}}^2+2\mathrm{m}l-2\mathrm{n}l-2\mathrm{mn}\right)+ \\ \left({\mathrm{m}}^2+{\mathrm{n}}^2+l^2\right)+(2\mathrm{mn}-2\mathrm{m}l-2\mathrm{n}l)+\left({\mathrm{n}}^2+l^2\right. \\ \begin{array}{l}\left.+{\mathrm{m}}^2+2\mathrm{m}l+2\mathrm{n}l+2\mathrm{mn}\right)+\left({\mathrm{n}}^2+l^2+{\mathrm{m}}^2+2\mathrm{n}l\right.\\ -2\mathrm{m}l-2\mathrm{mn})\\ \begin{array}{r}=1+2\mathrm{m}l-2\mathrm{n}l-2\mathrm{mn}+1+2\mathrm{mn}-2\mathrm{m}l-2\mathrm{n}l\\ +1+2\mathrm{m}l+2\mathrm{n}l+2\mathrm{mn}+1+2\mathrm{n}l-2\mathrm{m}l-2\mathrm{mn}\end{array}\\ =4(\sin ce l^2+m^2+n^2=1)\end{array} \end{gathered}$$