If $\mathrm{n}>0$ is an odd integer, and $\mathrm{x}=(\sqrt{2}+1{)}^{\mathrm{n}}\text{ and }\mathrm{f}=\mathrm{x}-[\mathrm{x}],\text{ then }\frac{1-{\mathrm{f}}^2}{\mathrm{f}}$ is

$\mathrm{x}>0$ is an odd integer $\mathrm{x}=(\sqrt{2}+1{)}^{\mathrm{n}}$

$\Rightarrow \mathrm{f}=\mathrm{x}-\left[\mathrm{x}\right]$

 $0<\mathrm{f}<1$

$\left[\mathrm{x}\right[+\mathrm{f}-\mathrm{F}=$even integer $0<\mathrm{F}<1$

$\Rightarrow \mathrm{f}-\mathrm{F}$= Integer $-1<\mathrm{f}-\mathrm{F}<1$

$\Rightarrow \left[\mathrm{x}\right]$ = even integer $\Rightarrow \mathrm{f}-\mathrm{F}=0$

$\Rightarrow \left(\right[\mathrm{x}]+\mathrm{f})\mathrm{F}=1\Rightarrow \left[\mathrm{x}\right]+\mathrm{f}=\frac{1}{\mathrm{f}}$

$\Rightarrow \left[\mathrm{x}\right]=\frac{1}{\mathrm{f}}-\mathrm{f}=\frac{1-{\mathrm{f}}^2}{\mathrm{f}}$= even integer