If $\mathrm{n}\in \mathrm{Z}$ and $\mathrm{Z}=\cos \mathrm{\theta }+\mathrm{i} \sin \mathrm{\theta }$ then $\frac{{\mathrm{Z}}^{2\mathrm{n}}-1}{{\mathrm{Z}}^{2\mathrm{n}}+1}=$

$\mathrm{z}=\mathrm{cos\theta }+\mathrm{i} \mathrm{sin\theta }$

${\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}={\left(\mathrm{cos\theta }+\mathrm{i} \mathrm{sin\theta }\right)}^{\mathrm{n}}=\cos \mathrm{n\theta }+\mathrm{i} \sin \mathrm{n\theta }$

$\frac{1}{{\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}}=\cos \mathrm{n\theta }-\mathrm{i} \sin \mathrm{n\theta }$

${\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}+\frac{1}{{\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}}=\cos \mathrm{n\theta }+\mathrm{i} \sin \mathrm{n\theta }+\cos \mathrm{n\theta }-\mathrm{i} \sin \mathrm{n\theta }=2\cos \mathrm{n\theta }$

${\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}-\frac{1}{{\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}}=\cos \mathrm{n\theta }+\mathrm{i} \sin \mathrm{n\theta }-\cos \mathrm{n\theta }+\mathrm{i} \sin \mathrm{n\theta }=2 \mathrm{i} \mathrm{sin\theta }$

$\therefore \frac{{\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}}}}{{\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}}}}=\frac{2\mathrm{i} \sin \mathrm{n\theta }}{2 \cos \mathrm{n\theta }} \Rightarrow \frac{{\mathrm{z}}^{2\mathrm{n}}-1}{{\mathrm{z}}^{2\mathrm{n}}+1}=\mathrm{i} \tan \mathrm{n\theta }$