If $\sum _{\mathrm{r}=0}^{2\mathrm{n}} {\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}(\mathrm{x}-2{)}^{\mathrm{r}}=\sum _{\mathrm{r}=0}^{2\mathrm{n}} {\mathrm{b}}_{\mathrm{r}}(\mathrm{x}-3{)}^{\mathrm{r}}$ and a_k = 1 for all $\mathrm{k}\ge \mathrm{n}$, then b_n is equal to

In the given equation, put x - 3 = y.

$\therefore \sum _{\mathrm{r}=0}^{2\mathrm{n}} {\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}(1+\mathrm{y}{)}^{\mathrm{r}}=\sum _{\mathrm{r}=0}^{2\mathrm{n}} {\mathrm{b}}_{\mathrm{r}}(\mathrm{y}{)}^{\mathrm{r}}$

$\Rightarrow {\mathrm{a}}_0+{\mathrm{a}}_1(1+\mathrm{y})+\cdots +{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}-1}(1+\mathrm{y}{)}^{\mathrm{n}-1}+(1+\mathrm{y}{)}^{\mathrm{n}}+(1+\mathrm{y}{)}^{\mathrm{n}+1}+\dots +(1+\mathrm{y}{)}^{2\mathrm{n}}$

$=\sum _{\mathrm{r}=0}^{2\mathrm{n}} {\mathrm{b}}_{\mathrm{r}}{\mathrm{y}}^{\mathrm{r}}$                $\text{ [Using }\left.{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}=1,\mathrm{\forall }\mathrm{k}\ge \mathrm{n}\right]$

Equating the coefficients of yⁿ on both sides, we get

${ }^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}{+}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}{+}^{\mathrm{n}+2}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}+\dots {+}^{2\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}$

$\Rightarrow \left({ }^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}+1}{+}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}\right){+}^{\mathrm{n}+2}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}+\dots {+}^{2\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}$

$\left[{\text{ Using }}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}{=}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}+1}=1\right] , [n_{c_r}+n_{c_{r-1}}={(n+1)}_{c_r}]$

$\Rightarrow {\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}{=}^{\mathrm{n}+2}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}+1}{+}^{\mathrm{n}+2}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}+\dots {+}^{2\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$

Combing the terms in similar way, we get

$\Rightarrow {\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}{=}^{2\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}+1}{+}^{2\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}{=}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}+1}$