If $\overline{\mathrm{r}}=3\overline{\mathrm{i}}+2\overline{\mathrm{j}}-5\overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{a}}=2\overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{b}}=\overline{\mathrm{i}}+3\overline{\mathrm{j}}-2\overline{\mathrm{k}} \mathrm{and} \overline{\mathrm{c}}=-2\overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}-3\overline{\mathrm{k}}$such that $\overline{\mathrm{r}}=\mathrm{\lambda }\overline{\mathrm{a}}+\mathrm{\mu }\overline{\mathrm{b}}+\mathrm{\delta }\overline{\mathrm{c}}$ then $\mathrm{\mu }, \frac{\mathrm{\lambda }}{2},\mathrm{\delta }$ are in

$$\begin{gathered} 3\mathrm{i}+2\mathrm{j}-5\mathrm{k}=\mathrm{\lambda }(2\mathrm{i}-\mathrm{j}+\mathrm{k})+\mathrm{M}(\mathrm{i}+3\mathrm{j}-2\mathrm{k})+\mathrm{\delta }(-2\mathrm{i}+\mathrm{j}-3\mathrm{k}) \\ 3=2\mathrm{\lambda }+\mathrm{M}-2\mathrm{\delta } — ① \\ 2=-\mathrm{\lambda }+3\mathrm{M}+\mathrm{\delta } — ② \\ -5=\mathrm{\lambda }-2\mathrm{M}-3\mathrm{\delta } — ③ \\ 3=2\mathrm{\lambda }+\mathrm{M}-2\mathrm{\delta } \overline{) 2=-\mathrm{\lambda }+3\mathrm{M}+\mathrm{\delta }} \\ \underline{4=-2\mathrm{\lambda }+6\mathrm{M}+2\mathrm{\delta }} \overline{) \underline{-5=\mathrm{\lambda }-2\mathrm{M}-3\mathrm{\delta }}} \\ 7=7\mathrm{M} \Rightarrow \mathrm{M}=1 -3=\mathrm{M}-2\mathrm{\delta } \\ -4=-2\mathrm{\delta } \Rightarrow \mathrm{\delta }=2 \\ 3=2\mathrm{\lambda }+1-4 \Rightarrow 2\mathrm{\lambda }=6 \Rightarrow \mathrm{\lambda }=3 \\ \mathrm{M}, \frac{\mathrm{\lambda }}{2} , \mathrm{\delta }=1, \frac{3}{2}, 2 \to \mathrm{A}.\mathrm{P}. \end{gathered}$$