If $\overline{\mathrm{r}}=3\overline{\mathrm{i}}+2\overline{\mathrm{j}}-5\overline{\mathrm{k}},\overline{\mathrm{a}}=2\overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}},\overline{\mathrm{b}}=\overline{\mathrm{i}}+\overline{3\mathrm{j}}-2\overline{\mathrm{k}}\text{ and }\overline{\mathrm{c}}=-2\overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}-3\overline{\mathrm{k}}$ such that $\overline{\mathrm{r}}=\mathrm{\lambda }\overline{\mathrm{a}}+\mathrm{\mu }\overline{\mathrm{b}}+\mathrm{\delta }\overline{\mathrm{c}}$ then $\mathrm{\mu },\frac{\mathrm{\lambda }}{2},\mathrm{\delta }$ are in

$\begin{array}{l}\overline{\mathrm{r}}=\mathrm{\lambda }\overline{\mathrm{a}}+\mathrm{\mu }\overline{\mathrm{b}}+\delta \overline{\mathrm{c}}\\ 3\overline{\mathrm{i}}+2\overline{\mathrm{j}}-5\overline{\mathrm{k}}=\mathrm{\lambda }(2\mathrm{i}-\mathrm{j}+\overline{\mathrm{k}})+\mathrm{\mu }(\mathrm{i}+3\mathrm{j}-2\overline{\mathrm{k}})+\mathrm{\delta }(-2\mathrm{i}+\mathrm{j}-3\overline{\mathrm{k}})\\ \left.\begin{array}{c}\therefore 3=2\mathrm{\lambda }+\mathrm{\mu }-2\mathrm{\delta }\\ 2=-\mathrm{\lambda }+3\mathrm{\mu }+\mathrm{\delta }\\ -5=\mathrm{\lambda }-2\mathrm{\mu }-3\mathrm{\delta }\end{array}\right\}\Rightarrow 2\mathrm{\lambda }+\mathrm{\mu }-2\mathrm{\delta }+2\left(-\mathrm{\lambda }+3\mathrm{\mu }+\mathrm{\delta }\right)=3+2\left(2\right)\\ \Rightarrow 2\mathrm{\lambda }+\mathrm{\mu }-2\mathrm{\delta }+2\left(-\mathrm{\lambda }+3\mathrm{\mu }+\mathrm{\delta }\right)=3+2\left(2\right)\therefore \mu =1\\ and substituing \mu =1\\ \Rightarrow \lambda -\delta =1,\lambda -3\delta =-3,\\ \Rightarrow \mathrm{\mu }=1,\mathrm{\lambda }=3,\mathrm{\delta }=2\\ \therefore \mathrm{\mu }\cdot \frac{\mathrm{\lambda }}{2},\mathrm{\delta }\text{ are in A.P }\end{array}$