If $\overline{\mathrm{r}}=\overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}+\mathrm{t}(2\overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}+\mathrm{k})$ and $\overline{\mathrm{r}}=2\overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}-\mathrm{k}+\mathrm{s}(3\overline{\mathrm{i}}-5 \overline{\mathrm{j}}+2\overline{\mathrm{k}})$ are the vector equations of two lines ${\mathrm{L}}_1$ and ${\mathrm{L}}_2$, then the shortest distance between them is

$$\begin{gathered} \overline{\mathrm{a}}=\mathrm{p}+\mathrm{j} \overline{\mathrm{b}}=2\mathrm{i}-\mathrm{j}+\mathrm{k} \\ \overline{\mathrm{c}}=2\mathrm{i}+\mathrm{j}-\mathrm{k} \overline{\mathrm{d}}=3\mathrm{i}-5\mathrm{j}+2\mathrm{k} \\ \overline{\mathrm{a}}-\overline{\mathrm{c}}=\mathrm{i}-\mathrm{k} \overline{\mathrm{b}}\times \overline{\mathrm{d}}=\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{i}& \mathrm{j}& \mathrm{k}\\ 2& -1& 1\\ 3& -5& 2\end{array}\right| \\ =\mathrm{i}\left(3\right) -\mathrm{j}\left(1\right)+\mathrm{k}(-7) \\ \mathrm{S}.\mathrm{D}=\left|\frac{3+7}{\sqrt{9+1+49}}\right|=\frac{10}{\sqrt{59}} \end{gathered}$$