If $\overline{\mathrm{r}}$ is any vector then $\overline{\mathrm{r}}=$

$(\overline{\mathrm{r}} · {\overline{\mathrm{a}}}^1)\overline{\mathrm{a}} + (\overline{\mathrm{r}} · {\overline{\mathrm{b}}}^1)\overline{\mathrm{b}} + (\overline{\mathrm{r}} · {\overline{\mathrm{c}}}^1)\overline{\mathrm{c}}$

$(\overline{\mathrm{r}} · {\overline{\mathrm{c}}}^1)\overline{\mathrm{a}} + (\overline{\mathrm{r}} · {\overline{\mathrm{b}}}^1)\overline{\mathrm{b}} + (\overline{\mathrm{r}} · {\mathrm{a}}^1)\overline{\mathrm{c}}$

$(\overline{\mathrm{r}} · {\overline{\mathrm{a}}}^1)\overline{\mathrm{a}} - (\overline{\mathrm{r}} · {\overline{\mathrm{b}}}^1)\overline{\mathrm{b}} + (\overline{\mathrm{r}} · {\overline{\mathrm{c}}}^1)\overline{\mathrm{c}}$

$(\overline{\mathrm{a}} · {\overline{\mathrm{a}}}^1)\overline{\mathrm{a}} - (\overline{\mathrm{b}} · {\overline{\mathrm{b}}}^1)\overline{\mathrm{b}} + (\overline{\mathrm{c}} · {\overline{\mathrm{c}}}^1)\overline{\mathrm{c}}$