If ${\mathrm{S}}_1, {\mathrm{S}}_2, {\mathrm{S}}_3$ be the sum of n, 2n, 3n terms respectively of an A.P. Then 
 

$$\begin{gathered} {\mathrm{S}}_1=\frac{\mathrm{n}}{2}\left[2\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{d}\right] {\mathrm{S}}_2=\frac{2\mathrm{n}}{2}\left[2\mathrm{a}+(2\mathrm{n}-1)\mathrm{d}\right] \\ {\mathrm{S}}_3=\frac{3\mathrm{n}}{2}\left[2\mathrm{a}+(3\mathrm{n}-1)\mathrm{d}\right] \\ {\mathrm{S}}_2-{\mathrm{S}}_1=\frac{\mathrm{n}}{2}\left[4\mathrm{a}+(4\mathrm{n}-2)\mathrm{d}-2\mathrm{a}-(\mathrm{n}-1)\mathrm{d}\right] \\ =\frac{\mathrm{n}}{2}\left[2\mathrm{a}+(3\mathrm{n}-1)\mathrm{d}\right] \\ 3\left({\mathrm{S}}_2-{\mathrm{S}}_1\right)=\frac{3\mathrm{n}}{2}\left[2\mathrm{a}+(3\mathrm{n}-1)\mathrm{d}\right]={\mathrm{S}}_3 \end{gathered}$$