If $\frac{{\sin }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{a}}=\frac{{\cos }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{b}}=\frac{{\tan }^{-1}\mathrm{y}}{\mathrm{c}};0<\mathrm{x}<1,$ then the value of $\cos \left(\frac{\mathrm{\pi c}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}\right)$ is:

$$\begin{gathered} \frac{{\sin }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{a}}=\frac{{\cos }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{b}}=\frac{{\tan }^{-1}\mathrm{y}}{\mathrm{c}}=\mathrm{k} \\ {\sin }^{-1}\mathrm{x}=\mathrm{ak} ; {\cos }^{-1}\mathrm{x}=\mathrm{bk} \\ \frac{\mathrm{\pi }}{2}=(\mathrm{a}+\mathrm{b})\mathrm{k} \Rightarrow \mathrm{k}=\frac{\mathrm{\pi }}{2(\mathrm{a}+\mathrm{b})} \\ {\tan }^{-1}\mathrm{y}=\mathrm{kc}=\frac{\mathrm{\pi c}}{2(\mathrm{a}+\mathrm{b})} \Rightarrow 2{\tan }^{-1}\mathrm{y}=\frac{\mathrm{\pi c}}{1+\mathrm{b}} \\ {\cos }^{-1}\left(\frac{1-{\mathrm{y}}^2}{1+{\mathrm{y}}^2}\right)=\frac{\mathrm{\pi c}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}} \\ \frac{1-{\mathrm{y}}^2}{1+{\mathrm{y}}^2}=\cos \left(\frac{\mathrm{\pi c}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}\right) \end{gathered}$$