If ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}$ denotes the sum of first $\mathrm{n}$ natural numbers then ${\mathrm{S}}_1+{\mathrm{S}}_2\mathrm{x}+{\mathrm{S}}_3{\mathrm{x}}^2+\dots +{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}+\dots \infty$ terms =

$\begin{array}{rcl}\mathrm{S}& =& {\mathrm{S}}_1+{\mathrm{S}}_2 \mathrm{x}+{\mathrm{S}}_3 {\mathrm{x}}^2+....+{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}} {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}+....\end{array}$

$\begin{array}{rcl}{\mathrm{S}}_1& =& 1_{,} {\mathrm{S}}_2=1+2=3, {\mathrm{S}}_3=1+2+3=6\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\mathrm{S}& =& 1+3\mathrm{x}+6{\mathrm{x}}^2+10{\mathrm{x}}^3+....\\ & =& 1+{}^3{\mathrm{C}}_1 \mathrm{x}+{}^4{\mathrm{C}}_2 {\mathrm{x}}^2+{}^5{\mathrm{C}}_3 {\mathrm{x}}^3+....\\ & =& {(1-\mathrm{x})}^{-3}\end{array}$