If ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}$ denotes the sum of n terms of an A.P., ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}+3}-3{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}+3}+3{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}+1}-{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=$

$$\begin{gathered} {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}+3}-3{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}+3}+3{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}+1}-{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}} \\ =\frac{\mathrm{n}+3}{2}\left[2\mathrm{a}+(\mathrm{n}+2)\mathrm{d}\right]-3\frac{(\mathrm{n}+2)}{2}\left[2\mathrm{a}+(\mathrm{n}+1)\mathrm{d}\right] \\ +3\frac{(\mathrm{n}+1)}{2}\left[2\mathrm{a}+\mathrm{nd}\right]\frac{-\mathrm{n}}{2}\left[2\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{d}\right] \\ =\mathrm{a}(\mathrm{n}+3-3\mathrm{n}-6+3\mathrm{n}+3-\mathrm{n}] \\ +\frac{\mathrm{d}}{2}\left[{\mathrm{n}}^2+5\mathrm{n}+6-3{\mathrm{n}}^2-9\mathrm{n}-6+3{\mathrm{n}}^2+3\mathrm{n}-{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}\right] \\ =\mathrm{a}\left(0\right)+\frac{\mathrm{d}}{2}\left(0\right)=0 \end{gathered}$$