If $\tan \mathrm{\theta }=\mathrm{ntan}\mathrm{\varphi }$then the maximum value of ${\tan }^2(\mathrm{\theta }-\mathrm{\varphi })$is equal to

$\begin{array}{l}\tan (\mathrm{\theta }-\mathrm{\varphi })=\frac{\tan \mathrm{\theta }-\tan \mathrm{\varphi }}{1+\tan \mathrm{\theta tan}\mathrm{\varphi }}=\frac{(\mathrm{n}-1)\tan \mathrm{\varphi }}{1+{\mathrm{ntan}}^2\mathrm{\varphi }}\\ \Rightarrow \tan (\mathrm{\theta }-\mathrm{\varphi })=\frac{\mathrm{n}-1}{\cot \mathrm{\varphi }+\mathrm{ntan}\mathrm{\varphi }}\\ \Rightarrow \cot \mathrm{\varphi }+\mathrm{ntan}\mathrm{\varphi }\ge 2\sqrt{\mathrm{n}}\\ {\tan }^2(\mathrm{\theta }-\mathrm{\varphi })=\frac{(\mathrm{n}-1{)}^2}{{\left(\cot \mathrm{\varphi }+{\mathrm{ntan}}^2\mathrm{\varphi }\right)}^2}\\ \Rightarrow \text{ maximum value of }{\tan }^2(\mathrm{\theta }-\mathrm{\varphi })=\frac{(\mathrm{n}-1{)}^2}{4\mathrm{n}}\end{array}$