If $x=1+a+a^2+\cdots \infty ,y=1+b+b^2+\cdots \infty ,\left|a\right|<1,\left|b\right|<1$, then $1+ab+a^2{b}^2+\cdots \infty$ is 

$x=1+a+a^2+\cdots \infty \left|a\right|<1$

$x=\frac{1}{1-a}$

$1-a=\frac{1}{x}\Rightarrow 1-\frac{1}{x}=a$

$\Rightarrow a=\frac{x-1}{x}$

$y=1+b+b^2+\cdots \infty ,\left|b\right|<1$

$y=\frac{1}{1-b}\Rightarrow b=\frac{y-1}{y}$

$\therefore 1+ab+a^2{b}^2+\cdots +\infty$

$=\frac{1}{1-ab}$

$=\frac{1}{1-\left(\frac{x-1}{x}\right)\left(\frac{y-1}{y}\right)}=\frac{xy}{xy-xy+x+y-1}$

$=\frac{xy}{x+y-1}$