If $\int {\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\cdot {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+\mathrm{c}$ then the minimum value of f(x) is:

$\begin{array}{l}\int {\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{dx}={\mathrm{x}}^2\cdot \frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{2}-2\mathrm{x}\cdot \frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{4}+2\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{8}+\mathrm{c}=\frac{1}{4}\left(2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1\right){\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+\mathrm{c}\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{4}\left(2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1\right)\end{array}$

Min value of f(x) is =$\frac{4ac-b^2}{4a}$=$\frac{1}{8}$