If $\int x^3{e}^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{8}f\left(x\right)+c$ then the sum of all the complex roots of f(x)=1 is

$$\begin{gathered} I=\int {\mathrm{x}}^3{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ {\mathrm{x}}^2 3{\mathrm{x}}^2 6\mathrm{x} 6 \\ \frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{2} \frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{4} \frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{8} \frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{16} \\ I=\frac{{\mathrm{x}}^3{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{2}-\frac{3{\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{4}+\frac{6{\mathrm{xe}}^{2\mathrm{x}}}{8}-\frac{6{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{16} \\ =\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{8}\left[4{\mathrm{x}}^3-6{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}-3\right] \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=4{\mathrm{x}}^3-6{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}-3 \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=1 \\ \Rightarrow 4{\mathrm{x}}^3-6{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}-4=0 \\ \Rightarrow 2{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-2=0 \\ \Rightarrow (\mathrm{x}-1) (2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+2)=0 \\ 2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+2=0 \\ \mathrm{has} \mathrm{complox} \mathrm{roots} \mathrm{whose} \mathrm{sum} =\frac{1}{2} \end{gathered}$$