If $\text{⨍ }\left(\mathrm{x}\right)\text{=}\left\{\begin{array}{ccc}\mathrm{ax}+\mathrm{b},& \mathrm{if}& \mathrm{x}\le 1\\ {\mathrm{ax}}^2+\mathrm{c}& \mathrm{if}& 1<\mathrm{x}\le 2\\ \frac{{\mathrm{dx}}^2+1}{\mathrm{x}}\text{,}& \mathrm{if}& \mathrm{x}\ge 2\end{array}\right.$ is

differentiable on $\mathrm{ℝ} ,$ then $\mathrm{ad}-\mathrm{bc}=$

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{b} \mathrm{if} \mathrm{x}\le 1\\ {\mathrm{ax}}^2+\mathrm{c} \mathrm{if} 1<\mathrm{x}\le 2\\ \frac{{\mathrm{dx}}^2+1}{\mathrm{x}} \mathrm{if} \mathrm{x}\ge 2\end{array}\right. \mathrm{is} \mathrm{differentiable} \\ \mathrm{f} \mathrm{is} \mathrm{continuous} \Rightarrow \mathrm{f}\left(1^{-}\right)=\mathrm{f}\left(1^{+}\right)\Rightarrow \mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{a}+\mathrm{c} \\ \therefore \mathrm{b}=\mathrm{c} \\ \mathrm{f}\left(2^{-}\right)=\mathrm{f}\left(2^{+}\right)\Rightarrow 4\mathrm{a}+\mathrm{c}=\frac{4\mathrm{d}+1}{2}\Rightarrow 8\mathrm{a}+2\mathrm{c}=4\mathrm{d}+1 \\ {\mathrm{f}}^1\left(1^{-}\right)={\mathrm{f}}^1\left(1^{+}\right)\Rightarrow \mathrm{a}=2\mathrm{a}\Rightarrow \mathrm{a}=0 \\ {\mathrm{f}}^1\left(2^{-}\right)={\mathrm{f}}^1\left(2^{+}\right)\Rightarrow 2\mathrm{a}\left(2\right)=\mathrm{d}-\frac{1}{4}\Rightarrow \mathrm{d}=\frac{1}{4} \\ \therefore 4\mathrm{d}=1 \\ 8\mathrm{a}+2\mathrm{c}=4\mathrm{d}+1\Rightarrow 0+2\mathrm{c}=1+1 \\ \therefore \mathrm{c}=1 \\ \mathrm{ad}-\mathrm{bc}=0-{\mathrm{c}}^2=-1 \end{gathered}$$