If $\mathrm{x}+\mathrm{iy}=\frac{1+7\mathrm{i}}{{(2-\mathrm{i})}^2};$ then cosec $\left({\mathrm{Tan}}^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}+\mathrm{iy}=\frac{1+7\mathrm{i}}{{(2-\mathrm{i})}^2}=\frac{1+7\mathrm{i}}{3-4\mathrm{i}} \\ =\frac{(1+7\mathrm{i}) (3+4\mathrm{i})}{(3+4\mathrm{i}) (3-4\mathrm{i})}=\frac{-25+25\mathrm{i}}{25}=-1+\mathrm{i} \\ \therefore \mathrm{x}+iy=-1+\mathrm{i}\Rightarrow \boxed{\mathrm{x}=-1, \mathrm{y}=1} \\ \Rightarrow \mathrm{cosec} ({\mathrm{Tan}}^{-1} \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}-\frac{\mathrm{\pi }}{4}) \\ =\mathrm{cosec} \left(\frac{-\mathrm{\pi }}{4}-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\mathrm{cosec} \left(\frac{-\mathrm{\pi }}{2}\right)=-1 \end{gathered}$$