If $({\mathrm{x}}_{\mathrm{i}} , {\mathrm{y}}_{\mathrm{i}}), \mathrm{i} = 1, 2, 3, 4$ are concyclic points on xy = 4 then ${\mathrm{x}}_1{\mathrm{x}}_2{\mathrm{x}}_3{\mathrm{x}}_4 =$

$$\begin{gathered} \mathrm{Given} \mathrm{hyperbola} \mathrm{xy}=4 \\ \mathrm{let} \mathrm{P}({\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}, {\mathrm{y}}_{\mathrm{i}})=\left(2{\mathrm{t}}_{\mathrm{i}}, \frac{2}{{\mathrm{t}}_{\mathrm{i}}}\right) \mathrm{be} \mathrm{any} \mathrm{point} \mathrm{on} \mathrm{given} \mathrm{hyperbola} \\ \mathrm{Since} \mathrm{given} \mathrm{points} \mathrm{are} \mathrm{concyclic} \mathrm{points} \mathrm{then} \mathrm{they} \mathrm{lie} \mathrm{on} \mathrm{the} \mathrm{circle} \\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+2\mathrm{gx}+2\mathrm{fy}+\mathrm{k}=0 \\ \Rightarrow 4{{\mathrm{t}}_{\mathrm{i}}}^2+\frac{4}{{{\mathrm{t}}_{\mathrm{i}}}^2}+2\mathrm{g}\left(2{\mathrm{t}}_{\mathrm{i}}\right)+2\mathrm{f}\left(\frac{2}{{\mathrm{t}}_{\mathrm{i}}}\right)+\mathrm{k}=0 \\ \Rightarrow 4{{\mathrm{t}}_{\mathrm{i}}}^4+4{{\mathrm{gt}}_{\mathrm{i}}}^3+{{\mathrm{kt}}_{\mathrm{i}}}^2+4{\mathrm{ft}}_{\mathrm{i}}+4=0 \\ \mathrm{let} \mathrm{four} \mathrm{roots} \mathrm{be} {\mathrm{t}}_1, {\mathrm{t}}_2, {\mathrm{t}}_3, {\mathrm{t}}_4 \\ \mathrm{Now} {\mathrm{t}}_1 {\mathrm{t}}_2 {\mathrm{t}}_3 {\mathrm{t}}_4=\frac{4}{4}=1 \\ \mathrm{Now} {\mathrm{x}}_1.{\mathrm{x}}_2.{\mathrm{x}}_3.{\mathrm{x}}_4=\left(2{\mathrm{t}}_1\right)\left(2{\mathrm{t}}_2\right)\left(2{\mathrm{t}}_3\right)\left(2{\mathrm{t}}_4\right) \\ =16\left({\mathrm{t}}_1{\mathrm{t}}_2{\mathrm{t}}_3{\mathrm{t}}_4\right) \\ =16\left(1\right) \\ =16 \end{gathered}$$