If $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ are strictly positive such that $\mathrm{x}+\mathrm{y}=1$ then the minimum value of $\mathrm{xlogx}+\mathrm{y} \log \mathrm{y}$ is

$$\begin{gathered} \mathrm{x}+\mathrm{y}=1\Rightarrow \mathrm{y}=1-\mathrm{x} \\ \mathrm{S}=\mathrm{xlogx}+\mathrm{ylogy} \\ =\mathrm{xlogx}+\left(1-\mathrm{x}\right)\log \left(1-\mathrm{x}\right) \\ {\mathrm{S}}^{\mathrm{I}}=\mathrm{x} \frac{1}{x}+\mathrm{logx}+\left(-1\right)\log \left(1-\mathrm{x}\right)+\left(1-\mathrm{x}\right)\frac{1}{1-\mathrm{x}}\left(-1\right) \\ =1+\mathrm{logx}-\log \left(1-\mathrm{x}\right)-1 \\ =\mathrm{logx}-\log \left(1-\mathrm{x}\right) \end{gathered}$$

S is min or max

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\mathrm{S}}^{\mathrm{I}}=0 \\ \mathrm{logx}=\log \left(1-\mathrm{x}\right) \\ \mathrm{x}=1-\mathrm{x}\Rightarrow 2\mathrm{x}=1 \\ \Rightarrow \mathrm{x}=\frac{1}{2} \\ \mathrm{S}=\frac{1}{2}\log \frac{1}{2}+\left(1-\frac{1}{2}\right)\log \left(1-\frac{1}{2}\right) \\ =\frac{1}{2}\log \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\log \frac{1}{2} \\ =\log \frac{1}{2} \\ =-\log 2 \end{gathered}$$