If $\mathrm{y}=(1+\tan \mathrm{A})(1-\tan \mathrm{B})$, where $\mathrm{A}-\mathrm{B}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$, then $(\mathrm{y}+1{)}^{\mathrm{y}+1}$ is equal to

$\mathrm{A}-\mathrm{B}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\text{ or }\tan (\mathrm{A}-\mathrm{B})=\tan \frac{\mathrm{\pi }}{4}$

$\begin{array}{l}\mathrm{or} \frac{\tan \mathrm{A}-\tan \mathrm{B}}{1+\tan \mathrm{Atan}\mathrm{B}}=1\\ \mathrm{or} \tan \mathrm{A}-\tan \mathrm{B}-\tan \mathrm{Atan}\mathrm{B}=1\\ \mathrm{or} \tan \mathrm{A}-\tan \mathrm{B}-\tan \mathrm{Atan}\mathrm{B}+1=2\\ \mathrm{or} (1+\tan \mathrm{A})(1-\tan \mathrm{B})=2\Rightarrow \mathrm{y}=2\end{array}$

Hence, $(\mathrm{y}+1{)}^{\mathrm{y}+1}=(2+1{)}^{2+1}=(3{)}^3=27$.