$\mathrm{If} \mathrm{y}=\mathrm{asinx}+\mathrm{bcosx}, \mathrm{then} {\mathrm{y}}^2+{\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)}^2 \mathrm{is} \mathrm{a}$

$\begin{array}{l}\mathrm{y}=\mathrm{asinx}+\mathrm{bcosx}\\ \mathrm{Differentiating} \mathrm{with} \mathrm{resperct} \mathrm{to} \mathrm{x}, \mathrm{we} \mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{acosx}-\mathrm{bsin} \mathrm{x}\\ \mathrm{Now}, {\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)}^2={\left(\mathrm{a} \cos \mathrm{x}-\mathrm{b} \sin \mathrm{x}\right)}^2\\ ={\mathrm{a}}^2{\cos }^2\mathrm{x}+{\mathrm{b}}^2{\sin }^2\mathrm{x}-2\mathrm{ab} \sin \mathrm{x} \cos \mathrm{x}\\ \mathrm{and} {\mathrm{y}}^2={\left(\mathrm{a} \sin \mathrm{x}+\mathrm{b} \cos \mathrm{x}\right)}^2\\ ={\mathrm{a}}^2{\sin }^2\mathrm{x}+{\mathrm{b}}^2{\cos }^2\mathrm{x}+2\mathrm{ab} \sin \mathrm{x} \cos \mathrm{x}\\ \mathrm{So}, {\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)}^2+{\mathrm{y}}^2={\mathrm{a}}^2\left({\sin }^2\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x}\right)+{\mathrm{b}}^2\left({\sin }^2\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x}\right)\\ =\left({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\right)= \mathrm{constant}\end{array}$