If ${\mathrm{y}}^{\cos \mathrm{x}}={\mathrm{x}}^{\sin \mathrm{y}}, \mathrm{then} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=$

$$\begin{gathered} \mathrm{Given} {\mathrm{y}}^{\cos \mathrm{x}}={\mathrm{x}}^{\sin \mathrm{y}} \\ \mathrm{Apply} \log \mathrm{on} \mathrm{both} \mathrm{sides} \\ \log \left({\mathrm{y}}^{\cos \mathrm{x}}\right)=\log \left({\mathrm{x}}^{\sin \mathrm{y}}\right) \\ \Rightarrow \cos \mathrm{x} \log \mathrm{y}=\sin \mathrm{y} \log \mathrm{x} \\ \mathrm{differentiate} \mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{to} \mathrm{x} \mathrm{on} \mathrm{both} \mathrm{sides} \\ \Rightarrow \frac{\cos \mathrm{x}}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\log \mathrm{y}(-\sin \mathrm{x})=\frac{\sin \mathrm{y}}{\mathrm{x}}+\log \mathrm{x} \mathrm{cosy}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left(\frac{\cos \mathrm{x}}{\mathrm{y}}-\mathrm{logx} \mathrm{cosy}\right)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\sin \mathrm{y}}{\mathrm{x}}+\mathrm{logy} \mathrm{sinx} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{y}\left(\sin \mathrm{y}+\mathrm{x} \log \mathrm{y} \sin \mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}(\cos \mathrm{x}-\mathrm{y} \log \mathrm{x} \cos \mathrm{y})}. \end{gathered}$$