$\mathrm{If} \mathrm{y}={(\sin \mathrm{x})}^{{(\sin \mathrm{x})}^{{(\sin \mathrm{x})}^{.....\infty }}, \mathrm{then} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=}$

$$\begin{gathered} \mathrm{y}={(\sin \mathrm{x})}^{{(\sin \mathrm{x})}^{{(\sin \mathrm{x})}^{...\infty }}} \\ \mathrm{y}={(\sin \mathrm{x})}^{\mathrm{y}} \\ \log \mathrm{y}=\mathrm{y} \log (\sin \mathrm{x}) \\ \frac{1}{\mathrm{y}}·\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{y}\frac{1}{\sin \mathrm{x}} \cos \mathrm{x}+\log (\sin \mathrm{x}) \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} \\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} \left(\frac{1}{\mathrm{y}}-\log (\sin \mathrm{x})\right)=\mathrm{y} \cot \mathrm{x} \\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} \left(\frac{1}{\mathrm{y}}-\frac{\log \mathrm{y}}{\mathrm{y}}\right)=\mathrm{y} \cot \mathrm{x} \\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{{\mathrm{y}}^2\cot \mathrm{x}}{1-\log \mathrm{y}} \end{gathered}$$