$\mathrm{If} \mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+\frac{\mathrm{x}}{2}\sqrt{{\mathrm{x}}^2}+1+\log \sqrt{\mathrm{x}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1} } ,\mathrm{then} \mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\log \left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)=$

$$\begin{gathered} \mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+\frac{\mathrm{x}}{2}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}+\log \sqrt{\mathrm{x}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}} \\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x}+\mathrm{x}\frac{1}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}}\left(2\mathrm{x}\right)+\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}\left(\frac{1}{2}\right) \\ +\frac{1}{2} \frac{1}{\mathrm{x}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}} \left[1+\frac{1}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}}\left(2\mathrm{x}\right)\right] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}}+\frac{1}{2}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}+\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}} \\ =\mathrm{x}+\frac{{\mathrm{x}}^2+({\mathrm{x}}^2+1)+1}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}} \\ =\mathrm{x}+\frac{2({\mathrm{x}}^2+1)}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}} \\ =\mathrm{x}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1} \\ \mathrm{x} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\log \left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right) \\ ={\mathrm{x}}^2+\mathrm{x} \sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}+\log \left(\mathrm{x}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1} \right) \\ =2\mathrm{y} \end{gathered}$$