$\mathrm{If} \mathrm{y}=\mathrm{x} \tan \frac{\mathrm{x}}{2} \mathrm{then} \left(1+\cos \mathrm{x}\right) \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-\sin \mathrm{x}=$

$$\begin{gathered} \mathrm{y}=\mathrm{x} \tan \frac{\mathrm{x}}{2} \\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x} {\sec }^2\frac{\mathrm{x}}{2} \frac{1}{2}+\tan \frac{\mathrm{x}}{2}\left(1\right) \\ =\frac{\mathrm{x}+2\sin {\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{2}} \cos {\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{2}}}{2 {\cos }^2 {\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{2}}} \\ (1+\cos \mathrm{x}) \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x}+\sin \mathrm{x} \\ (1+\cos \mathrm{x}) \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-\sin \mathrm{x}=\mathrm{x} \end{gathered}$$