If $\left|\mathrm{z} - 1\right| < 2\left|\mathrm{z}-2\right|$ then the locus of $\mathrm{z} = \mathrm{x} + \mathrm{iy}$ is

$$\begin{gathered} \left|\mathrm{z}-1\right|<2\left|\mathrm{z}-2\right|, \boxed{\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy}} \\ \Rightarrow \left|\mathrm{x}+\mathrm{iy}-1\right|<2\left|\mathrm{x}+\mathrm{iy}-2\right| \\ \Rightarrow \left|(\mathrm{x}-1)+\mathrm{iy}\right|<2\left|(\mathrm{x}-2)+\mathrm{iy}\right| \\ \Rightarrow \sqrt{{(\mathrm{x}-1)}^2+{\mathrm{y}}^2}<2\sqrt{{(\mathrm{x}-2)}^2+{\mathrm{y}}^2} \\ \Rightarrow {(\mathrm{x}-1)}^2+{\mathrm{y}}^2<4\left({(\mathrm{x}-2)}^2+{\mathrm{y}}^2\right) \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1+{\mathrm{y}}^2<4{\mathrm{x}}^2-16\mathrm{x}+16+4{\mathrm{y}}^2 \\ \therefore 3{\mathrm{x}}^2+3{\mathrm{y}}^2-14\mathrm{x}+15>0 \end{gathered}$$