If $\mathrm{z}(1+\mathrm{a})=\mathrm{b}+\mathrm{ic}\text{ and }{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2=1$ then $\frac{(1+\mathrm{iz})}{(1-\mathrm{iz})}=$

$\begin{array}{l}\frac{1+\mathrm{iz}}{1-\mathrm{iz}}=\frac{1+\mathrm{i}(\mathrm{b}+\mathrm{ic})/(1+\mathrm{a})}{1-\mathrm{i}(\mathrm{b}+\mathrm{ic})/(1+\mathrm{a})}\\ =\frac{1+\mathrm{a}-\mathrm{c}+\mathrm{ib}}{1+\mathrm{a}+\mathrm{c}-\mathrm{ib}}\\ =\frac{(1+\mathrm{a}-\mathrm{c}+\mathrm{ib})(1+\mathrm{a}+\mathrm{c}+\mathrm{ib})}{(1+\mathrm{a}+\mathrm{c}{)}^2+{\mathrm{b}}^2}\end{array}$
$\begin{array}{l}=\frac{1+2\mathrm{a}+{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2+2\mathrm{ib}+2\mathrm{iab}}{1+{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{c}}^2+{\mathrm{b}}^2+2\mathrm{ac}+2(\mathrm{a}+\mathrm{c})}\\ =\frac{2\mathrm{a}+2{\mathrm{a}}^2+2\mathrm{ib}+2\mathrm{iab}}{2+2\mathrm{ac}+2(\mathrm{a}+\mathrm{c})}\left(\because {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2=1\right)\\ =\frac{\mathrm{a}+{\mathrm{a}}^2+\mathrm{ib}+\mathrm{iab}}{1+\mathrm{ac}+(\mathrm{a}+\mathrm{c})}\\ =\frac{\mathrm{a}(\mathrm{a}+1)+\mathrm{ib}(\mathrm{a}+1)}{(\mathrm{a}+1)(\mathrm{c}+1)}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{ib}}{\mathrm{c}+1}\end{array}$