If $\frac{\mathrm{z} + 2}{\mathrm{z}+ 6\mathrm{i}}$ is purely real then the locus of $\mathrm{z} = \mathrm{x} + \mathrm{iy}$ is 

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{z}+2}{\mathrm{z}+6\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{iy}+2}{\mathrm{x}+\mathrm{iy}+6\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{x}+2+\mathrm{iy}}{\mathrm{x}+\mathrm{i}(\mathrm{y}+6)} \\ =\frac{\left((\mathrm{x}+2)+\mathrm{iy}\right) \left(\mathrm{x}-\mathrm{i}(\mathrm{y}+6)\right)}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}(\mathrm{y}+6)\right) \left(\mathrm{x}-\mathrm{i}(\mathrm{y}+6)\right)} \\ \frac{\mathrm{z}+2}{\mathrm{z}+6\mathrm{i}}=\frac{\left(\mathrm{x}(\mathrm{x}+2)+\mathrm{y}(\mathrm{y}+6)\right)+\mathrm{i}\left(\mathrm{xy}-(\mathrm{x}+2) (\mathrm{y}+6)\right)}{{\mathrm{x}}^2+{(\mathrm{y}+6)}^2} \end{gathered}$$

is purely real $\Rightarrow$imaginary part=0

$$\begin{gathered} \therefore \mathrm{xy}-(\mathrm{x}+2) (\mathrm{y}+6)=0 \\ \mathrm{xy}-(\mathrm{xy}+6\mathrm{x}+2\mathrm{y}+12)=0 \\ \Rightarrow -6\mathrm{x}-2\mathrm{y}-12=0 \\ \Rightarrow 3\mathrm{x}+\mathrm{y}+6=0 \end{gathered}$$