If $\mathrm{Z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy}$ is a complex number satisfying $\left|\frac{\mathrm{Z}-2\mathrm{i}}{\mathrm{Z}+2\mathrm{i}}\right|=2$ and the locus of Z is circle, then its radius is

$$\begin{gathered} \left|\frac{\mathrm{z}-2\mathrm{i}}{\mathrm{z}+2\mathrm{i}}\right|=2 \\ \Rightarrow \left|\mathrm{x}+\mathrm{iy}-2\mathrm{i}\right|=2\left|\mathrm{x}+\mathrm{iy}+2\mathrm{i}\right| \\ \Rightarrow \sqrt{{\mathrm{x}}^2+{(\mathrm{y}-2)}^2}=2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{(\mathrm{y}+2)}^2} \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2+{(\mathrm{y}-2)}^2=4 ({\mathrm{x}}^2+{(\mathrm{y}+2)}^2) \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-4\mathrm{y}+4=4({\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+4\mathrm{y}+4) \\ \Rightarrow 3{\mathrm{x}}^2+3{\mathrm{y}}^2+20\mathrm{y}+12=0 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+\frac{20}{3}\mathrm{y}+4=0 \\ \mathrm{radius}=\sqrt{\frac{100}{9}-4}=\sqrt{\frac{64}{9}}=\frac{8}{3} \end{gathered}$$